［参］西来路・清水「初学者のための数論入門」講談社

にしたがって，２^p−１の素因数についてみていきます．

　　２^11−１＝２３・８９

　　２^23−１＝４７・１７８４８１

　　２^29−１＝２３３・１１０３・２０８９

　　２^67−１＝１９３７０７７２１・７６１８３８２５７２８７（コール）

　素因数をｐで割ると１余る素数になります．

　　２３÷１１＝２・・・１

　　４７÷２３＝２・・・１

　　８９÷１１＝８・・・１

　　２３３÷２９＝８・・・１

　　１１０３÷２９＝３８・・・１

　　２０８９÷２９＝７２・・・１　

　　１７８４８１÷２３＝７７６０・・・１

この性質は２^p−１が素数のときにも成り立ちます．

　さらに，素因数を８で割ると１または７余ります．

　　２３÷８＝２・・・７

　　４７÷８＝５・・・７

　　８９÷８＝１１・・・１

　　２３３÷８＝２９・・・１

　　１１０３÷８＝１３７・・・７

　　２０８９÷８＝２６１・・・１　

　　１７８４８１÷８２２３１０・・・１

この性質（第２補充則）は２^p−１がｐが素数でなくても３以上の奇数であれば成り立ちます．

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［Ｑ］２^31−１は素数であるか？

［Ａ］２^31−１＝２１４７４８３６４７

　　√２１４７４８３６４７＝４６３４０．９５・・・３

　４６３４０以下の素数が２１４７４８３６４７を割り切るかどうかを調べればよいのですが，そのような素数は４７９２個あります．ところが，

　　性質：２^p−１の素因数をｐで割ると１余る素数になる

　　性質：２^n−１の素因数を８で割ると１または７余る素数になる

を用いると，３１で割って１余る素数かつ８で割って１または７余る素数のみを調べればよいことがわかります．

　これは，すなわち，２４８で割って１または７余る素数（３１１，１３０１，・・・）になり，４６３４０以下に８４個あります．こうして，オイラーは

　　２^31−１＝２１４７４８３６４７（素数，オイラー）

を示しました．

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