一般に，ある整数ｘに対して，素数ｐが２次式ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの素因数であれば，ｘをｐで割った余りｒ（０≦ｒ＜ｐ）に対して，ｐはａｐ^2＋ｂｐ＋ｃの素因数になる．

（証）ｘ＝ｐｋ＋ｒをａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに代入して整理すると

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｐ（ａｐｋ^2＋２ａｋｒ＋ｂｋ）＋ａｐ^2＋ｂｐ＋ｃ

　したがって，ｐがａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの素因数であるかどうかを知るためには，（０≦ｘ＜ｐ）の範囲で調べれば十分である．

　また，２次式ｘ^2＋ｂｘ＋ｃの判別式Ｄ＝ｂ^2−４ｃ素因数は，ｘ^2＋ｂｘ＋ｃの素因数である．

　→１−４ｋの素因数は，ｘ^2＋ｘ＋ｋの素因数である．

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　一般に，２次式ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃがｘ＝ｒに対して，ａｒ^2＋ｂｒ＋ｃ＝ｐ（素数）となるとき，ｘ＝ｒ＋ｐに対して，

ａ（ｒ＋ｐ）^2＋ｂ（ｒ＋ｐ）＋ｃ

＝ｐ（１＋２ａｒ＋ａｐ＋ｂ）・・・合成数となる．

　これを繰り返すと

ｘ＝ｒ＋２ｐ，ｒ＋３ｐ，・・・に対しても合成数となることがわかる．

　たとえば，あるｘの値に対してａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝３となったとすると，ｘの値が３増える毎に３を素因数にもつ合成数となる．

　このことから素数値を連続してとることは非常に稀な現象であることがわかる．

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