ｘ^2＋ｘ＋（１±ｐ）／４の判別式は

　　Ｄ＝１−（１±ｐ）＝±ｐ

したがって，ｐはｘ^2＋ｘ＋（１±ｐ）／４の素因数である．

　　ｘ^2＋ｘ＋（１−ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋１型素数であるとき）

　　ｘ^2＋ｘ＋（１＋ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋３型素数であるとき）

［１］ｐ＝１１

　　ｘ^2＋ｘ＋３の判別式は−１１

　　１１以外の素因数は１，３，４，５，６

［２］ｐ＝１３

　　ｘ^2＋ｘ−３の判別式は１３

　　１３以外の素因数は１，３，４，９，１０，１２

［３］ｐ＝１７

　　ｘ^2＋ｘ−４の判別式は１７

　　１７以外の素因数は１，２，４，８，９，１３，１５，１６

［４］ｐ＝１９

　　ｘ^2＋ｘ−５の判別式は−１９

　　１９以外の素因数は１，４，５，６，７，９，１１，１６，１７

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［５］ｐ

　　ｘ^2＋ｘ＋（１−ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋１型素数であるとき）

　　Ｄ＝ｐ

　　ｘ^2＋ｘ＋（１＋ｐ）／４　　（ｐが４ｎ＋３型素数であるとき）

　　Ｄ＝−ｐ

　　ｐ以外の素因数は，ｐで割った余りが１の素因数，ｐ未満の平方数，平方数をｐで割った余り

［６］ｐが４ｎ＋１型素数であるとき，ｘ^2＋ｘ＋（１−ｐ）／４の素因数にｑが現れるための必要十分条件はｘ^2−ｑの素因数にｐが現れることである

［７］ｐが４ｎ＋３型素数であるとき，ｘ^2＋ｘ＋（１＋ｐ）／４の素因数にｑが現れるための必要十分条件はｘ^2−ｑの素因数にｐが現れることである

　すなわち，ｘ^2−ｑ＝（ｐの倍数）

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