残念ながら，フェルマーの小定理の逆は正しくない．

　　ｎ＝３４１＝１１・３１

　３４１は合成数であるが，２^340−１は３４１で割り切れてしまう．

（証）２^10−１＝１０２３＝３４１・３に注目すると，

２^340−１＝（２^10）^34−１＝｛（３４１の倍数）＋１｝^34−１

＝（３４１の倍数）＋１−１

＝（３４１の倍数）

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　３を底とすると，３^340−１は３４１で割り切らないので，合成数であることはわかりますが，すべての底に対して，ａ^p-1がｐで割り切れてしまう完全擬素数が存在します．

　たとえば，ｐ＝５６１，１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１，・・・

このような完全擬素数（カーマイケル数）は無限にある．

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