［参］西来路・清水「初学者のための数論入門」講談社

にしたがって，２^p−１の素因数についてみていきます．

　　２^11−１＝２３・８９

　　２^23−１＝４７・１７８４８１

　　２^29−１＝２３３・１１０３・２０８９

　　２^67−１＝１９３７０７７２１・７６１８３８２５７２８７（コール）

　素因数をｐで割ると１余る素数になります．

　　２３÷１１＝２・・・１

　　４７÷２３＝２・・・１

　　８９÷１１＝８・・・１

　　２３３÷２９＝８・・・１

　　１１０３÷２９＝３８・・・１

　　２０８９÷２９＝７２・・・１　

　　１７８４８１÷２３＝７７６０・・・１

この性質は２^p−１が素数のときにも成り立ちます．

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［Ｑ］２^13−１は素数であるか？

［Ａ］２^13−１＝８１９１

　　√８１９１＝９０．５０４・・・

　９０以下の素数が８１９１を割り切るかどうかを調べればよいのですが，そのような素数は２４個あります．ところが，

　　性質：２^p−１の素因数をｐで割ると１余る素数になる

を用いると，１３で割って１余る素数のみ（５３と７９）を調べればよいことがわかります．

　　８１９１÷５３＝１５４・・・２９　　（ＮＧ）

　　８１９１÷７９＝１０３・・・５４　　（ＮＧ）

以上より，２^33−１は素数である．

［Ｑ］２^37−１は素数であるか？

［Ａ］２^37−１＝１３７４３８９５３４７１

　３７で割って１余る素数のみ（１４９，２３３，・・・）を調べればよいことがわかります．

　　１３７４３８９５３４７１÷２３３＝６１６３１８１７７　　（ＯＫ）

以上より，２^37−１は合成数である．

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