フェルマーの小定理より，ｐが奇素数のとき２^p-1－１はｐで割り切れる．

　　ｐ＝３：２^2－１＝３　（３で割り切れる）

　　ｐ＝５：２^4－１＝３　（５で割り切れる）

　　ｐ＝７：２^6－１＝６３　（７で割り切れる）

　　ｐ＝１１：２^10－１＝１０２７　（１１で割り切れる）

　ｎが偶数のとき，２^n-1－１は奇数なので，ｎの倍数ではない．

　ｎが奇数の合成数のとき，

　　ｎ＝９：２^8－１＝２５５　（９で割り切れない）

　　ｎ＝１５：２^14－１＝１６３８３　（１５で割り切れない）

　　ｎ＝２１：２^20－１＝１０４８５７５　（２１で割り切れない）

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　フェルマーの小定理の逆は正しくない．

　　ｎ＝３４１＝１１・３１：２^340－１は３４１で割り切れる．

　このような擬素数は無限にある．

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　つぎに，素数ｐに対して，２^p－１が素数（メルセンヌ素数）になる場合を検索してみる．

　　２^2－１＝３（素数）

　　２^3－１＝７（素数）

　　２^5－１＝３１（素数）

　　２^7－１＝１２７（素数）

　　２^11－１＝２３・８９

　　２^13－１＝８１９１（素数）

　　２^17－１＝１３１０７１（素数）

　　２^19－１＝２５４２８７（素数）

　　２^23－１＝４７・１７８４８１

　　２^29－１＝２３３・１１０３・２０８９

　　２^31－１＝２１４７４８３６４７（素数，オイラー）

　　２^67－１＝１９３７０７７２１・７６１８３８２５７２８７（コール）

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