（その６）以降，

　　ｌｏｇｘ＝∫ｄｔ／ｔ

が問題となっている．自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できるというわけである．

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【１】台形公式

　区間［ａ−ｘ，ａ＋ｘ］に対して，

　　２ｘ／ａ＜∫ｄｔ／ｔ＜ｘ（１／（ａ＋ｘ）＋１／（ａ＋ｘ））

の左辺は矩形公式，右辺は台形公式に拠っていることはおわかり頂けるであろう．念のため説明するが，ｙ＝１／ｔのグラフで，ｔ＝［ａ−ｘ，ａ，ａ＋ｘ］となる３点をとれば，台形公式が得られる．

　　ａ−ｘ＝１，ａ＋ｘ＝２→ａ＝３／２，ｘ＝１／２より

［１］ａ＝３／２，ｘ＝１／２→１／３＜ｌｏｇ２＝∫(1,2)ｄｔ／ｔ＜３／２

　　０．３３３＜ｌｏｇ２＜１．５

となり，近似の精度を上げることはできない．

　そこで，当該不等式を２回適用することにする．

［２］ａ＝５／４，ｘ＝１／４→２／５＜∫(1,3/2)ｄｔ／ｔ＜５／１２

［３］ａ＝７／４，ｘ＝１／４→２／７＜∫(3/2,2)ｄｔ／ｔ＜７／２４

より

　　２４／３５＜ｌｏｇ２＝∫(1,2)ｄｔ／ｔ＜１７／２４

　　０．６８５＜ｌｏｇ２＜０．７０８

と絞り込むことができる．

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【２】数値積分

　台形則，シンプソン則，中点則をそのまま適用してみると，

［１］台形則

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒（ｂ−ａ）／２・｛ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）｝

＝１／２・（１／１＋１／２）＝３／４＝０．７５

［２］シンプソン則（１／３則）

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒（ｂ−ａ）／６・｛ｆ（ａ）＋４ｆ（（ａ＋ｂ）／２）＋ｆ（ｂ）｝

　　＝１／６・（１／１＋４・２／３＋１／２）＝２５／３６＝０．６９４

［３］中点則

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒（ｂ−ａ）ｆ（（ａ＋ｂ）／２）

　　＝２／３＝０．６

　さらに

［４］シンプソン則（３／８則）

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒３ｈ／８・｛ｆ（ａ）＋３ｆ（ａ＋ｈ）＋３ｆ（ａ＋２ｈ）ｆ（ｂ）｝　　（ｈ＝（ｂ−ａ）／３）

　　＝１／８（１／１＋３・３／４＋３・３／５＋１／２）＝１１１／１６０＝０．６９４

［５］ブール則

　　∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘ≒２ｈ／４５・｛７ｆ（ａ）＋３２ｆ（ａ＋ｈ）＋１２ｆ（ａ＋２ｈ）＋３２ｆ（ａ＋３ｈ）＋７ｆ（ｂ）｝　　（ｈ＝（ｂ−ａ）／４）

　　＝１／９０（７＋３２・４／５＋１２・２／３＋３２・４／７＋７／２）＝４３６７／６３００＝０．６９３

　シンプソン則（１／３則）の大健闘ということであろう．

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