２＜ｅ＜３は次のようにして示すことができます．

（証）　ｎ！＝１・２・３・・・ｎ＞１・２・２・・・２＝２^(n-1)

より，

　　e=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･＜1+1+1/2+1/2^2+･･･+1/2^(n-1)＝３

　　２＜ｅは明らかである．

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（問）ｎ→∞のとき，数列 Sn=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n! が，数列 Tn=(1+1/n)^n と同じ極限ｅに収束することを示せ．

（証）２項定理により，

　　Tn=1+n･1/n+n(n-1)/2!･1/n^2+･･･+n!/n!･1/n^n

　　　=1+1+(1-1/n)･1/2!+･･･+(1-1/n)(1-2/n)(1-(n-1)/n)･1/n!

　ｎ→∞のとき

　　Tn→1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･＝ｅ

　分母の階乗の値が急速に増大するため，数列Ｓnは非常に速く収束しますが，数列Ｔnの極限値を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．

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