素数が無限に存在すること，√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．ｅの無理数性も背理法を用いて，わりに容易に示すことができます．そこで，・・・

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【１】ｅは無理数

（問）e=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･が無理数であることを証明せよ．

（証）整数ｐ，ｑが存在して，

　　ｐ／ｑ＝1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･

のように書けるものと仮定する．

　　ｐ／ｑ＝(1+1/1!+1/2!+･･･+1/q!)+(1/(q+1)!+1/(q+2)!+･･･)

　両辺をｑ！倍すると，

　　ｐ（ｑ−１）！＝(q!+q!/1!+q!/2!+･･･+q!/q!)+(1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+･･･)

ここで，ｐ（ｑ−１）！は整数，(q!+q!/1!+q!/2!+･･･+q!/q!)も整数．

　また，

　　1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+･･･

＜1/(q+1)+1/(q+1)(q+1)+1/(q+1)(q+1)(q+1)+･･･＝1/q

となり，

　　1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+･･･

は小数であることがわかる．

　以上より，整数＝整数＋小数となって矛盾．ｅが有理数であるという仮定に誤りがあり，有理数ではあり得ないことを示している．したがって，ｅは無理数である．

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【２】ｅは超越数

　１７４４年，オイラーはこのようにしてｅの無理数性を示した(1815年、フーリエも)のですが，さらに，１８７３年，エルミートはｅが超越数であることを証明しました．これに対して，πが無理数であることを示したのはランベルト（１７６１年）であり，最終的にリンデマンがπが超越数であること証明しました（１８８２年）．リンデマンはエルミートの方法を発展させ，πの超越性を示したのです．

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