素数ｐに対して

　　Ｍp＝２^p−１

をメルセンヌ数をいいます．

［１］ａ^n−１が素数ならば，ａ＝２かつｎも素数である．

（証）

　　ａ^n−１＝（ａ−１）（ａ^n-1＋ａ^n-2＋・・・＋ａ＋１）

したがって，ａ＝２でなければならない．また，ｎ＝ｋｌ（合成数）ならば

　　２^kl−１＝（２^k）^l−１＝（２^k−１）（（２^k）^l-1＋（２^k）^l-2＋・・・＋２^k＋１）

よりｎは素数でなければならない．

[２]古代ギリシャ人はｎ＝４，６，８，９，１０，１２のとき，２^n−１は素数ではなく，ｎ＝２，３，５，７のとき，２^n−１が素数になることを知っていました．

２^2−１＝３　　（素数）

２^3−１＝７　　（素数）

２^4−１＝１５　　（非素数）

２^5−１＝３１　　（素数）

　　２^6−１＝６３　　（非素数）

２^7−１＝１２７　　（素数）

　　２^8−１＝２５５　　（非素数）

　　２^9−１＝５１１＝７・７３　　（非素数）

　　２^10−１＝５１１＝７・７３　　（非素数）

２^11−１＝２０４７＝２３・８９　　（非素数）

　　２^12−１＝１０２３＝３・３４１　　（非素数）

　　２^13−１＝８１９１　　（素数）

ｎ＝１１の場合，素数でないこと

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９

を発見したのは，ドイツの数学者レギウスでした（１５３６年）．

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【１】メルセンヌ数の素因数

　フェルマーは非素数

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９

２^23−１＝８３８８６０７＝４７・１７８４８１

　　２^37−１＝１３７４３８９５３４７１＝２２３・６１６３１８７７

をもとにして、素因数の性質を発見しています．これらの素因数についてみると，

　　２３＝２・１１＋１

　　４７＝２・２３＋１

２２３＝６・３７＋１

という関係がみえてきます．

［１］ｐを奇素数，ｑを素数とする

　２^q＝１　　（ｍｏｄｐ）ならば，ｐ＝１　　（ｍｏｄｑ）である

すなわち，メルセンヌ数２^n−１が合成数であるならば，因数はあるｋに対してｋｎ＋１である．

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