紀元前320年、アリスタイオスは「５つの正多面体の比較」という本を出し、その中で

「正12面体と正20面体が同一の球に内接するとき、正12面体の５角形と正20面体の３角形は同じ円に内接する」

ことを証明した。

同じく双対の

「正8面体と正6面体が同一の球に内接するとき、正8面体の3角形と正6面体の4角形は同じ円に内接する」

は成り立つこともわかった。

それでは

円に内接する三角形と四角形、球に内接する正八面体と正六面体、

４次元ではどうなるのでしょうか？ (山崎憲久)

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辺の長さ2の正600胞体と正120胞体の外接球の半径は2τ：2^(3/2)τ^2

同じ球に内接するとき、辺の長さの比は1/2τ：1/2^(3/2)τ^2 =2τ :√2

辺の長さ2の正四面体の外接球の半径は√(3/2)

辺の長さ2の正12面体の外接球の半径は(√3)τ

辺の長さ2τの正四面体の外接球の半径はτ√6

辺の長さ√2の正12面体の外接球の半径はτ√6・・・一致した

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辺の長さ2τの正三角形の外接円の半径は2τ/ √3

辺の長さ√2の正五角形の外接円の半径は1/(√2)sin36・・・一致しない

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