【１】二項定理

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

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(a+b)^n=a^n+(n,1)a^(n-1)b+(n,2)a^(n-2)b^2+・・・+b^n

(a+b)^n=Σ(n,r)a^(n-r)b^r

(a+b)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・a^(n-r)b^r

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【２】ニュートンの一般化二項級

a=1,b=xとおくと

(1+x)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・x^r

となるが、ニュートンはnが非正整数の場合にも一般化し、自身の微分積分法の基礎となした。

n=-1の場合、

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(-1)(-2)・・・(-r)/r!

1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+・・・

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+・・・

n=1/2の場合、

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(1/2)(1/2-1)・・・(5/2-r)(3/2-r)/r!

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(2r-3)!!・(-1)^r/2^r・r!

(1-4x)^1/2=Σ(2r-3)!!・(-1)^r(-4x)^r/2^r・r!

(1-4x)^1/2=Σ(2r-3)!!・2^r/r!・x^r

(1-4x)^1/2=Σ(2r-3)!!・2^r・r!/(r!)^2・x^r

(1-4x)^1/2=Σ(2r)!/(r+1)(r!)^2・x^r

(1-4x)^1/2=Σ(2r)!/(r+1)!(r!)・x^r

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