紀元前320年、アリスタイオスは「５つの正多面体の比較」という本を出し、その中で

「正12面体と正20面体が同一の球に内接するとき、正12面体の５角形と正20面体の３角形は同じ円に内接する」

ことを証明した。

同じく双対の

「正8面体と正6面体が同一の球に内接するとき、正8面体の3角形と正6面体の4角形は同じ円に内接する」

は成り立つこともわかった。

それでは

「正12面体と正20面体が同一の球に外接するとき、正12面体の５角形と正20面体の３角形は同じ円に外接する」

「正8面体と正6面体が同一の球に外接するとき、正8面体の3角形と正6面体の4角形は同じ円に外接する」

は成り立つだろうか？

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ｄを球の直径、ｓを内接する正多面体の辺の長さとすると

(a)正四面体：d^2=3/2・s^2

(b)正八面体：d^2=2・s^2

(c)立方体：d^2=3・s^2

(d)正20面体：d^2=(5+√5)/2・s^2

(e)正12面体：d^2=3(3+√5)/2・s^2

同様に

ｄを内接球の直径、ｓを外接する正多面体の辺の長さとすると

(a)正四面体：d^2=1/6・s^2

(b)正八面体：d^2=2/3・s^2

(c)立方体：d^2=s^2

(d)正20面体：d^2=(5+√5)/2・(5+2√5)/15・s^2=(7+3√5)/6・s^2

(e)正12面体：d^2=3(3+√5)/2・(5+2√5)/15・s^2=(25+11√5)/10・s^2

単位円に外接する4角形と3角形の辺の長さはそれぞれ

s6=2tan45＝2

s8=2tan60=2√3

2/3・12=4は成り立つだろうか？

・・・NG

単位円に外接する5角形と3角形の辺の長さはそれぞれ

s12=2tan36＝2{(5-2√5)^1/2}

s20=2tan60=2√3

(7+3√5)/6・12=(25+11√5)/10・4{(5-2√5)}は成り立つだろうか？

5(7+3√5)=(25+11√5){(5-2√5)}・・・NG

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