紀元前320年、アリスタイオスは「５つの正多面体の比較」という本を出し、その中で

「正12面体と正20面体が同一の球に内接するとき、正12面体の５角形と正20面体の３角形は同じ円に内接する」

ことを証明した。計算して確かめてみたい。

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ｄを球の直径、ｓを内接する正多面体の辺の長さとすると

(a)正四面体：d^2=3/2・s^2

(b)正八面体：d^2=2・s^2

(c)立方体：d^2=3・s^2

(d)正20面体：d^2=(5+√5)/2・s^2

(e)正12面体：d^2=3(3+√5)/2・s^2

単位円に内接する5角形と3角形の辺の長さはそれぞれ

s12=2sin36＝{(10-2√5)^1/2}/2

s20=2sin60=√3

単位円に外接する5角形と3角形の辺の長さはそれぞれ

s12=2tan36＝2{(5-2√5)^1/2}

s20=2tan60=2√3

球の直径を求めなければならない・・・

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