ｘより小さい素数の数はｘが大きくなって無限大に近づくにつれてx/logxにほぼ等しくなる（素数定理） 。

ハーディはｘより小さい素数の数を正確に表すｘの関数を見つけたというラマヌジャンの主張に興奮した。しかし、ラマヌジャンは厳密な証明を提示することはできなかった・・・

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素数を正確に予測することはできないが、1901年、コッホは最も強力な素数計数関数はリーマン予想によるものであることを証明する。リーマン予想が証明されれば、ゼータ関数が素数分布を最もうまく予測することが確実になるのである。

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