ヤコビの楕円関数は複雑であるが、1862年、ワイエルシュトラスによってより単純な形のペー関数が紹介された。ワイエルシュトラスは楕円関数の一般定理を導き出し、代数学と幾何学両分野の問題に応用可能であることを示した。ペー関数は古典力学や量子力学でも使われている。

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【１】ワイエルシュトラスのペー関数

　格子点Ｌ＝｛ｍ＋ｎτ｜（ｍ，ｎ）は整数，（０，０）は除く｝に対して，ωを格子点Ｌ上の点とすると，無限和

　　ｐ（ｚ）＝１／ｚ^2＋Σ｛１／（ｚ−ｍ−ｎτ）^2−１／（ｍ＋ｎτ）^2｝

　　ｐ（ｚ）＝１／ｚ^2＋Σ｛１／（ｚ−ω）^2−１／ω^2｝

をワイエルシュトラスのペー関数と呼ぶ．

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　ωを格子点Ｌ上の点とすると

　　Σ１／ω^k

はｋ≧３のとき，絶対収束することから，ワイエルシュトラスのペー関数は収束することが示される．

　　ｐ’（ｚ＋ω）＝ｐ’（ｚ）＝−２Σ１／（ｚ−ω）^2

　　ｐ（ｚ＋ω）＝ｐ（ｚ）

より，ワイエルシュトラスのペー関数は基本周期１，τの楕円関数である．

　このとき

　　ｐ’（ｚ）^2＝４ｐ（ｚ）^4＋ｇ2（τ）ｐ（ｚ）＋ｇ3（τ）

　　ｇ2（τ）＝６０Σ１／ω^4，ｇ3（τ）＝２４０Σ１／ω^6

が成り立つ．

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