(1)ベッセル関数

　ベッセル関数は，惑星の運動に関するケプラー問題を解析的に表現しようと試みた天文学者・数学者ベッセルの研究にちなんでいます．

惑星の軌道は太陽を中心とする楕円軌道

　　ｒ＝１／（１＋ｅｃｏｓθ）

を動きますが，距離ｒと角度θが時間ｔの関数としてどのようになるか問うのが，いわゆるケプラー問題であって，ケプラー方程式はＥ−ｅｓｉｎＥ＝Ｍ

Ｅは離心近点離角，Ｍは平均近点離角，ｅは楕円の離心率で表されます．

　ベッセル関数は三角関数に似た増減関数で，とくに，半整数次のベッセル関数は三角関数で表現できるわかりやすい関数です．

J1/2=root(2/πx)sinx

J-1/2=root(2/πx)cosx

　しかし，三角関数の零点が一定の幅で規則正しく並ぶのに対して，任意の次数のベッセル関数の零点は単純にある値の整数倍とはいきません．ベッセル関数は，惑星の公転にはじまって，電磁波や光の回折，振動を表すのに適していて，物理学・工学分野で広く用いられています．

　一方，統計分野では，物理学・工学分野と異なり，変形ベッセル関数が用いられます．第１種n次の変形ベッセル関数はIn(x)，第２種n次の変形ベッセル関数はKn(x)で表されますが，変形ベッセル関数はx>0において非負の関数で，それぞれ単調増加，単調減少します．とくに，半整数次の変形ベッセル関数は双曲線関数で表現できます．

I1/2=root(2/πx)sinhx

I-1/2=root(2/πx)coshx

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