正三角形の内部の１点から各辺に垂線を下ろす．この点から３辺への距離の和は常に一定で，正三角形の高さと等しくなる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［証１］正三角形の１辺の長さを２とすると高さｈは√３．面積はＳ＝ｈ

　また，小三角形の面積の和は正三角形の面積に等しいから

Ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｈ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［証２］Ａ（０，√３），Ｂ（−１，０），Ｃ＝（１，０）

　Ｐ（ｘ，ｙ）とすると

　　ｙ＋（−ｙ＋ｘ√３＋√３）／２＋（−ｙ−ｘ√３＋√３）／２＝ｈ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［証３］正三角形の１辺の長さをa,高さｈをとする．面積はＳ＝ah/2

　また，小三角形の面積の和は正三角形の面積に等しいから

Ｓ＝a(ｘ＋ｙ＋ｚ)/2

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｈ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　正三角形の頂点から距離の和が最小となる点は重心である。

[Q]一般の三角形においても頂点から距離の和が最小となる点は重心であろうか？

[A]シュタイナー点(1826年)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝