（その３７）（その３８）の問題は，「フェルマー商

　　（２^p-1−１）／ｐ

が平方数となるのは，ｐ＝３かｐ＝７のときに限る」に酷似しているが，前者は

　 （ｐ^n+1−１）／（ｐ−１）＝Ｎ^2

　　１＋７＋７^2＋７^3＝２０^2

　　１＋３＋３^2＋３^3＋３^4＝１１^2

後者は

　　（２^p-1−１）／ｐ＝Ｎ^2

　　（２^2−１）／３＝１^2

　　（２^6−１）／７＝３^2

であって，似て非なる問題である．

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　また，

　　３１＝１＋５＋５^2＝１＋２＋２^2＋２^3＋２^4

のように，１からの連続した等比数列の和として２通りに表すことのできる数は，あと８１９１しか知られていない．

　一般に，

　　（ｐ^r−１）／（ｐ^d−１）

の形で２通りの表されることが知られている唯一の素数は

　　３１＝（２^6−１）／（２−１）＝（５^3−１）／（５−１）

　ｐが素数という条件を外せば，

　　８１９１＝（２^13−１）／（２−１）＝（９０^3−１）／（９０−１）

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［おまけ］

　　６＝１＋２＋３

　　６^2＝１^3＋２^3＋３^3

は３つの３乗数の和で表される最小の平方数である．

　　１０＝１＋２＋３＋４

　　１０^2＝１^3＋２^3＋３^3＋４^2

３乗数の和は三角数の平方なのである．

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