■a^4+b^4=c^4+d^4 (その38)
素数pの約数の和は1+pである.これが平方数となるのは
1+p=N^2
pがN^2−1型素数となることであるが,
N^2−1=(N−1)(N+1)
3はN^2−1型の唯一の素数であることから,p=3のみであることがわかる.
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(p^n+1−1)/(p−1)=N^2
N^2=1 (modp)
したがって(N−1)あるいは(N+1)はpで割り切れることになる.
1+7+7^2+7^3=20^2→19あるいは21は7で割り切れる.
1+3+3^2+3^3+3^4=11^2→10あるいは12は3で割り切れる.
また,
(p^n+1−1)/(p−1)=(p^n−1)/(p−1)+p^n=N^2
p^n+1>(p−1)N^2
7^4>6・20^2,3^5>2・11^2
などはわかるが,
1+7+7^2+7^3=20^2
1+3+3^2+3^3+3^4=11^2
の唯一性を示すにはどうしたらよいのだろうか.
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[おまけ]81=9^2=1^2+4^2+8^2
は3つの平方数の和で表される最小の平方数である
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