小学生でも発見できる数の性質として

　２・２＝２＋２＝４

　１・２・３＝１＋２＋３＝６

　２^4＝４^2＝１６

など，同じ結果になる特異数があげられる．

120=3+3^2+3^3+3^4=2^3+2^4+2^5+2^6は難しいかもしれない

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　　５０＝１^2＋７^2＝５^2＋５^2

　　６５＝８^2＋１^2＝４^2＋７^2

　（その４）より，５０は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができる最小の整数であることが理解されます．

　３平方和問題（ａ^2 ＋ｂ^2 ＋ｃ^2 ）（ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2 ）＝ｕ^2 ＋ｖ^2 ＋ｗ^2 は２平方和、４平方和の場合のようなわけにはいきません。３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです。

　それでも，３つの平方数の和として２通り以上に書ける数は知られていて

　　６２＝１^2＋５^2＋６^2＝２^2＋３^2＋７^2

　　１２９＝１０^2＋５^2＋２^2＝８^2＋７^2＋４^2＝８^2＋８^2＋１^2＋１１^2＋２^2＋２^2

　また、４平方和問題（ａ^2 ＋ｂ^2 ＋ｃ^2 ＋ｄ^2 ）（ｐ^2 ＋ｑ^2 ＋ｒ^2 ＋ｓ^2 ）＝ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2 ＋ｗ^2 は

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち、４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています。そのため，４つの平方数の和として２通り以上に書ける数では

　　１７１８＝７^2＋１２^2＋２５^2＋３０^2＝４０^2＋９^2＋６^2＋１^2

などがあります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

65は２つのピタゴラス三角形の斜辺となる最小の数である

65^2=63^2+16^2=56^2+33^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3乗数が３つの3乗数の和となる最小のもの

6^3=3^3+4^3+5^3

3つの平方数の和で表される最小の平方数

81=9^2=1^2+4^2+8^2

3つの３乗数の和で表される最小の3乗数

216=6^3=3^3+4^3+5^3

2つの３乗数の和で２通りに表される最小の数

1729=12^3+1^3=10^3+9^3

2つの4乗数の和で２通りに表される最小の数

635318657

3つの4乗数の和で２通りに表される最小の数

6578=1^4+2^4+9^4=3^4+7^4+8^4

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

50625は5つの4乗数の和である最小の４乗数である

15^4=4^4+6^4+8^4+9^4+14^4

248832は6つの5乗数の和である最小の5乗数である

12^5=4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5

87539319は2つの3乗数の和で３通りに表すことのできる知られている最小の数である

167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3

160426514は3つの6乗数の和で2通りに表すことのできる知られている唯一の数である

3^6+19^6+22^6=10^6+15^6+23^6

175959000は2つの3乗数の和で３通りに表すことのできる知られている２番目の数である

560^3+70^3=525^3+315^3=552^3+198^3

653318657は2つの4乗数の和で2通りに表すことのできる知られている最小の数である（オイラー）

158^4+59^4=133^4+134^4

15527402881は4つの4乗数の和である知られている唯一の４乗数である

353^4=30^4+120^4+272^4+315^4

61917364224は4つの5乗数の和である最小の５乗数である（ランダーとパーキン）

144^5=27^5+84^5110^5+133^5

3185874984007945920321は3つの4乗数の和である4乗数である

422481^4=95800^4+217519^4+414560^4

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝