ギリシャ人は弦の長さを半分にするとオクターブ、2/3にすると完全五度、3/4にすると完全五度と呼ばれる魅力的な音階が生まれることを理解した。

対照的に8/9では不協和音になった。楽音と数の比が結びついていることに気づいたのである。

そして、

　　(3/2)^p=2^q

が等しくなりうるかどうかを問うた。

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残念ながらこれらが等しくなることはないが、非常に精度の高い近似解はありうる。

(3/2)^12=129.746

2^7=128

2^7/12=1.498=3/2

また、対数をとると

　　(q+p)/p=log3/log2

となるが、p-12,q=7

p=41,q=24などの有理数近似がえられる。

log3/log2=1,2,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,・・・

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この純正律音階（ピタゴラス音階）は18世紀まで使われたが、その後、１オクターブを均等にした平均律音階にとってかわられた。ピタゴラス音階は１オクターブ内で表現できる音楽には適していたが、町長や単調で書かれた数オクターブにまたがる音楽には向いていなかったのである。

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