１７２９は，２つの３乗数で２通りに表せる最小の数である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

　１７２９のこの性質は１７世紀にフレニクルがすでに見つけていた．フレニクルは１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3のほかにも

　　９^3＋１５^3＝２^3＋１６^3

　　１５^3＋３３^3＝２^3＋３４^3

　　１６^3＋３３^3＝９^3＋３４^3

　　１９^3＋２４^3＝１０^3＋２７^3

を見つけている．

　パソコンが使える時代であれば，これくらいの桁数であればすぐ計算できると思われるが，ここでは不定方程式

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｕ^3＋ｖ^3

の（パラメータ解ではなく）特殊解をを探索してみたい．

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［Ｑ］ｘ^3＋１^3＝ｙ^3＋１０^3を満たす整数回（ｘ，ｙ）を求めよ．

［Ａ］ｘ^3−ｙ^3＝１０^3−１^3＝９９９＝３^2・１１１＝３^3・３７

　　（ｘ−ｙ）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2）＝３^3・３７

　また，ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝（ｘ−ｙ）^2＋３ｘｙより

　　ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＞ｘ−ｙ

であるから，

［１］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝９９９，ｘ−ｙ＝１

［２］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３３３，ｘ−ｙ＝３

［３］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝１１１，ｘ−ｙ＝９

［４］ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝３７，ｘ−ｙ＝２７

　これを解くと（ｘ，ｙ）＝（１２，９）が得られる．

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［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2）＝７・１３・１９

　　ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙ）^2−３ｘｙ

　　ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＞ｘ＋ｙ

となるとは限らない．結局，前節とは違って全数を調べあげなければならないことになるが，

［１］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３・１９，ｘ＋ｙ＝１

［２］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３・１９，ｘ＋ｙ＝７

［３］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１９，ｘ＋ｙ＝１３

［４］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３，ｘ＋ｙ＝１９

［５］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１９，ｘ＋ｙ＝７・１３

［６］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３，ｘ＋ｙ＝７・１９

［７］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７，ｘ＋ｙ＝１３・１９

［８］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１，ｘ＋ｙ＝７・１３・１９

　　ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

に代入すると（ｘ，ｙ）＝（１，１２），（９，１０），（１０，９），（１２，１））が得られる．

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