数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンはそれは２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

　フレニクルは１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3のほかにも

　　９^3＋１５^3＝２^3＋１６^3

　　１５^3＋３３^3＝２^3＋３４^3

　　１６^3＋３３^3＝９^3＋３４^3

　　１９^3＋２４^3＝１０^3＋２７^3

を見つけている．

　その後，方程式

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｕ^3＋ｖ^3

　　ａ^4＋ｂ^4＝ｃ^4＋ｄ^4

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＝ｄ^5＋ｅ^5＋ｆ^5

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＝ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6

のパラメータを用いた解が見つかっている．

1700年代、オイラーは４乗数２つの和で２通りに表せる最初の数は635318657であることを示した

　　ａ^4＋ｂ^4＝ｃ^4＋ｄ^4＝635318657＝158^4+59^4=133^4+134^4

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　１４４^5＝２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^52

は，１９６７年にランダーとパーキンがコンピュータを使って見つけたオイラー予想の反例である．

　彼等はこれを虱潰し的な探索で見つけたのか？　それともパラメータ解があるのだろうか？

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　エルキースによるオイラー予想の反例

　　２６８２４４０^4＋１５３６５６３９^4＋１８７９６７６０^4＝２０６１５６７３^4

は，ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^4＋ｔ^2に関する楕円曲線のｕ＝−５／８に対応する最小解であるが，ｕ＝−９／２０に対応する最小解は

　　９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4＝４２２４８１^4

である．

　一般に

　　Σａ^s＝Σｂ^s

のパラメータ解は，

［１］２≦ｓ≦４，ｍ＝２

［２］５≦ｓ≦６，ｍ＝３

のときに得られている．

　ｓ＝７，ｍ＝４あるいはｓ＝５，ｍ＝２（ａ^5＋ｂ^5＝ｃ^5＋ｄ^5）の数値解は知られていなかったが，

　　１４９^7＋１２３^7＋１４^7＋１０^7＝１４６^7＋１２９^7＋９０^7＋１５^7

が見いだされている．

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