単純群は

　　(1)素数位数の巡回群

　　(2)５次以上の交代群

　　(3)リー型の単純群

　　(4)散在型単純群

の４種類に大別される．

すべての整数が素数から構成されるように、すべての有限群は有限単純群から構成できる（ジョルダン・ヘイリーの定理、1889年）

1960年代、ゴレンシュタインは有限単純群の分類を始めた。

2004年、分類が完成。今日では有限単純群の分類は完成し，合計１８の無限系列と２６個の散在群に限ることがわかっている．

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