［１］回転円の半径が1のサイクロイド

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓθ

の弧とｘ軸で囲まれる図形の面積は，

　　ｄｘ＝（１−ｃｏｓθ）ｄθ

　　ｄｙ＝ｓｉｎθｄθ

　　ｘｄｙ−ｙｄｘ＝（θ−ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ−（１−ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（−２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

　Ｓ＝−１／２・∫(0,2π)（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝３π

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図の円を除いた部分を求積してみよう。

　　ｘ＝π−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓθ

したがって、

∫(0,2)(π-θ)dyとなる。

dy/dθ=sinθ

∫(0,2)(π-θ)dy=∫(0,π)(π-θ)sinθdθ

∫(0,π)(π)sinθdθ=[-πcosθ]=2π

∫(0,π)(θ)sinθdθ=[sinθ-πcosθ]=π

∫(0,2)(π-θ)dy=π

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一方、サイクロイドから円を除いた部分を2等分すると(3π−π)/2=π

積分の難易度

ｘｄｙ−ｙｄｘ＝（θ−ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ−（１−ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（−２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

としては、同程度であろう。

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