Ｓ＝∫ｘｄｙ＝−∫ｙｄｘ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

　Ｓ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

の形にした方が対称性が保たれて計算しやすい．

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　サイクロイド

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓθ

の弧とｘ軸で囲まれる図形の面積は，

　　ｄｘ＝（１−ｃｏｓθ）ｄθ

　　ｄｙ＝ｓｉｎθｄθ

　ｘｄｙ−ｙｄｘ＝（θ−ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ−（１−ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（−２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

　Ｓ＝−１／２・∫(0,2π)（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝３π

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1634年、ロベルヴァルがカバリェリの原理を用いてサイクロイドの面積が生成円の面積の３倍であることを突き止めた。

ガリレオはサイクロイドという名前を付けた

1656年、ホイヘンスはサイクロイドの形をしたガイドを付けて振り子を拘束した等時曲線を見つけた

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しかし、摩擦がホイヘンスの想定したものよりも大きな誤差をもたらした。

1750年代、ラグランジュは曲線の高さが振り子の進む円弧の長さの2乗に比例する必要があることを指摘した

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