［問］２次の正方行列でＸ^2＝−Ｅを満たすものは，複素数の範囲では

　　［ｉ，０］

　　［０，ｉ］

などがある．実数の範囲でも解は無数にある．その解をすべて求めよ．

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【１】Ｘ^2＝Ｅの解

　　Ｘ＝［ａ，ｂ］

　　　　［ｃ，ｄ］

とおくと，

　　Ｘ^2＝［ａ^2＋ｂｃ，（ａ＋ｄ）ｂ］＝［１，０］

　　　　　［（ａ＋ｄ）ｃ，ｄ^2＋ｂｃ］　［０，１］

より

　　ａ^2＋ｂｃ＝１，（ａ＋ｄ）ｂ＝０

　　（ａ＋ｄ）ｃ＝０，ｄ^2＋ｂｃ＝１

［１］ｂ＝ｃ＝０のとき，４通り

　　Ｘ＝［１，０］　　　Ｘ＝［−１，０］

　　　　［０，１］　　　　　［０，−１］

　　　　　　　　　　　　　　原点を中心に１８０°回転させる

　　Ｘ＝［１，０］　　　Ｘ＝［−１，０］

　　　　［０，−１］　　　　［０，１］

　　それぞれｘ軸を軸として線対称に反転，ｙ軸を軸として線対称に反転させる

［２］ｂ＝０，ｃ≠０のとき，２通り

　　Ｘ＝［１，０］　　　Ｘ＝［−１，０］

　　　　［ｃ，−１］　　　　［ｃ，１］

［３］ｂ≠０，ｃ＝０のとき，２通り

　　Ｘ＝［１，ｂ］　　　Ｘ＝［−１，ｂ］

　　　　［０，−１］　　　　［０，１］

［４］ｂ≠０，ｃ≠０のとき，４通り

　　Ｘ＝［ａ，（１−ａ^2）／ｃ］　　　Ｘ＝［−ａ，（１−ａ^2）／ｃ］

　　　　［ｃ，−ａ］　　　　　　　　　　　［ｃ，ａ］

　　Ｘ＝［ａ，ｃ］　　　　　　　　　　Ｘ＝［−ａ，ｃ］

　　　　［（１−ａ^2）／ｃ，−ａ］　　　　［（１−ａ^2）／ｃ，ａ］

　ａ＝１とおくと［２］［３］は［４］に含まれることがわかる．よって，８通り．

　ａ＝０，ｃ＝１とおくと

　　Ｘ＝［０，１］

　　　　［１，０］

が得られるが，これはｙ＝ｘを軸として線対称に反転させる．

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【２】Ｘ^2＝−Ｅの解

　　Ｘ＝［ａ，ｂ］

　　　　［ｃ，ｄ］

とおくと，

　　Ｘ^2＝［ａ^2＋ｂｃ，（ａ＋ｄ）ｂ］＝−［１，０］

　　　　　［（ａ＋ｄ）ｃ，ｄ^2＋ｂｃ］　　［０，１］

より

　　ａ^2＋ｂｃ＝−１，（ａ＋ｄ）ｂ＝０

　　（ａ＋ｄ）ｃ＝０，ｄ^2＋ｂｃ＝−１

［１］ｂ＝ｃ＝０のとき，４通り

　　Ｘ＝［ｉ，０］　　　Ｘ＝［−ｉ，０］

　　　　［０，ｉ］　　　　　［０，−ｉ］

　　Ｘ＝［ｉ，０］　　　Ｘ＝［−ｉ，０］

　　　　［０，−ｉ］　　　　［０，ｉ］

［２］ｂ≠０，ｃ≠０のとき，４通り

　　Ｘ＝［ａ，−（１＋ａ^2）／ｃ］　　　Ｘ＝［−ａ，−（１＋ａ^2）／ｃ］

　　　　［ｃ，−ａ］　　　　　　　　　　　　［ｃ，ａ］

　　Ｘ＝［ａ，ｃ］　　　　　　　　　　Ｘ＝［−ａ，ｃ］

　　　　［−（１＋ａ^2）／ｃ，−ａ］　　　［−（１＋ａ^2）／ｃ，ａ］

　ｂ＝０，ｃ≠０のとき，ｂ≠０，ｃ＝０のときは［２］に含まれる．よって，８通り．

　ａ＝０，ｃ＝１とおくと

　　Ｘ＝［０，−１］　　　Ｘ＝［０，１］

　　　　［１，０］　　　　　　［−１，０］

が得られるが，これらはそれぞれ反時計回り，時計回りに９０°回転させる．

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【３】回転作用素

　ここで，

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

　　Ｋ＝［０，１］　　　Ｌ＝［１，　０］

　　　　［１，０］　　　　　［０，−１］

Ｊは反時計回りに９０°回転させる作用素

Ｋはｙ＝ｘを軸として線対称に反転させる作用素

Ｌはｘ軸を軸として線対称に反転させる作用素

とおくと，

　　Ｊ^2＝−Ｅ，Ｋ^2＝Ｌ^2＝Ｅ，Ｊ^2＋Ｋ^2＋Ｌ^2＝Ｅ＝Ｅ^2

　　ＪＫ＝−Ｌ，ＫＬ＝Ｊ，ＬＪ＝−Ｋ

　　ＫＪ＝Ｌ，ＬＫ＝−Ｊ，ＪＬ＝Ｋ

が成り立つ．

　また，ノルムが不変で円を描く

　　Ｊ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｊｓｉｎθ

に対して

　　Ｋ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｋｓｉｎθ

　＝［ｃｏｓθ，　ｓｉｎθ］

　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

　　θ＝π／２のとき，Ｋ＝Ｋ

　　θ＝πのとき，Ｋ^2＝Ｅ

　　Ｌ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｌｓｉｎθ

　＝［ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，０］

　　［０，ｃｏｓθ−ｓｉｎθ］

　　θ＝π／２のとき，Ｌ＝Ｌ

　　θ＝πのとき，Ｌ^2＝−Ｅ

は，ノルムが楕円軌道を描くように変化する．

　　［参］真鍋克裕「複素ベクトルと三元数」ブイツーソリューション

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