ｘ^2＋ｙ^2

を実数の世界で因数分解することはできませんが，複素数を使うと

　　ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

のように因数分解できます．また，

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ

は，ω（１の虚立方根）＝（ｉ√３−１）／２を用いると

　　（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

と書くことができます．

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

は複素数の助けを借りても因数分解できませんが，４元数を用いると，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）

ですから，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2

のように因数分解できます．

　このシリーズのネタは複素数を使っても因数分解できなかった

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

をトリックを用いて分解する方法を紹介したいと思います．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】複素数と行列

　平面の回転行列は

　　［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

の形に書けます．

　ある複素数に虚数単位ｉをかけると

　　ｚｉ＝（ｘ＋ｙｉ）ｉ＝−ｙ＋ｘｉ

となり，この操作は９０°回転に対応することがわかります．そこで，回転行列にθ＝π／２を代入すると

　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［１，　０］

となります．

　複素数平面でｉが果たす役割と行列Ｊが果たす役割は等しいのですが，実際にこの行列を２乗すると

　　Ｊ^2＝［１，０］＝−Ｅ

　　　　　［０，１］

となって，虚数のもっている性質を備えていることがわかります．

　「Ｅ→１，Ｊ→ｉと置き換える」ことを踏まえると，複素数に対応した行列を導入することができます．

　　Ｚ＝ｘＥ＋ｙＪ＝［ｘ，−ｙ］

　　　　　　　　　　［ｙ，　ｘ］

ここで，

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

　　Ｚ’＝ｘＥ−ｙＪ＝［　ｘ，ｙ］

　　　　　　　　　　　［−ｙ，ｘ］

　　Ｚ・Ｚ’＝［ｘ^2＋ｙ^2，０］＝（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅ

　　　　　　　［０，ｘ^2＋ｙ^2］

ですから，（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅという行列が（虚数単位ｉを陽に用いることなしに）行列Ｚと行列Ｚ’の積に分解できたことになります．

　また，オイラーの公式

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

を行列で表現すると

　　ｅｘｐ（Ｊθ）＝（ｃｏｓθ）Ｅ＋（ｓｉｎθ）Ｊ

　　　　　　　　　＝［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　　　　　　　　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

となって，確かに回転行列になっていることがわかります．

［問］２次の正方行列でＸ^2＝−Ｅを満たすものは，複素数の範囲では

　　［ｉ，０］

　　［０，ｉ］

などがある．実数の範囲でも解は無数にある．その解をすべて求めよ．

［補］Ｅ，Ｊはそれぞれ対称行列（Ｂ’＝Ｂ），交代行列（Ｂ’＝−Ｂ）になっています．任意のｎ次正方行列Ａに対して，

　　Ｂ＝（Ａ＋Ａ’）／２，Ｃ＝（Ａ−Ａ’）／２

とおけば，Ｂは対称行列，Ｃは交代行列であって，

　　Ａ＝Ｂ＋Ｃ

のような分解は一意で与えられます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ｉのｉ乗

　オイラーの定理：

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

において，θ＝πを代入すると，ｅｘｐ（ｉπ）＝−１という有名な式が得られる．

　一方，ｉ^2＝−１であるから

　　ｅｘｐ（ｉπ）＝ｉ^2

両辺をθ／π乗すると

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｉ^(2θ/π)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

が成り立つ．

　　θ＝π／２のとき，ｉ＝ｉ

　　θ＝π／４のとき，ｉ^(1/2)＝（１＋ｉ）／√２

　　θ＝π／６のとき，ｉ^(1/3)＝（√３＋ｉ）／２

ｉの実数乗は回転作用を表すことがわかる．

　さらに，両辺をｉ乗すると

　　ｅｘｐ（−θ）＝ｉ^(2iθ/π)＝（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^i＝ｃｏｓｉθ＋ｉｓｉｎｉθ

が成り立つ．

　　θ＝π／２のとき，ｉ^i＝ｅｘｐ（−π／２）

　　θ＝π／４のとき，ｉ^(i/2)＝ｅｘｐ（−π／４）

　　θ＝π／６のとき，ｉ^(i/3)＝ｅｘｐ（−π／６）

ｉの虚数乗は実数になることがわかるが，これは原点からの距離（ノルム）の増減作用を表していると考えられる．

　また，

　　ｅｘｐ（−θ）＝ｉ^(2iθ/π)＝ｃｏｓｉθ＋ｉｓｉｎｉθ

　　ｅｘｐ（θ）＝ｉ^(-2iθ/π)＝ｃｏｓｉθ−ｉｓｉｎｉθ

に，θ＝１を代入すると

　　１／ｅ＝ｃｏｓｉ＋ｉｓｉｎｉ

　　ｅ＝ｃｏｓｉ−ｉｓｉｎｉ

　　ｃｏｓｉ＝（ｅ＋１／ｅ）／２

　　ｓｉｎｉ＝（ｅ−１／ｅ）／２ｉ

となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】ＪのＪ乗

　複素平面上における回転作用素は

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｉ^(2θ/π)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

と表せるので，実平面上における回転作用素は

　　Ｊ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｊｓｉｎθ

と表せる．

　たとえば，θ＝π／６のとき，

　　Ｊ^1/3＝Ｅｃｏｓπ／３＋Ｊｓｉｎπ／３＝√３／２Ｅ＋１／２Ｊ

　　　　　＝［√３／２，−１／２］

　　　　　　［１／２，√３／２］

実際，両辺を３乗すると

　　Ｊ＝［０，−１］

　　　　［１，　０］

となることがわかる．実平面上における回転作用素は実数の行列なのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝