モンモール数は規準となる並び順に対して，どの要素も本来のポジションにないような順列のことで，完全順列（撹乱順列）と呼ばれます．たとえば，｛５，１，２，３，４｝はどの数も元の場所に位置していないので完全順列，｛５，２，１，３，４｝は２の位置が固定されたままなので完全順列ではありません．

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【１】モンモール数

　ｎ個の宛名を書いた封筒にｎ個の手紙を無作為に入れるとき，すべての手紙がその宛名と違う封筒に入る確率は，

　　１−１／１！＋１／２！−・・・＋（−１）^n１／ｎ！

ｎ→∞のとき，

　　（１−１／ｎ）^n　→　１／ｅ＝０．３６７８・・・

に近づきます．

　ｎ個の要素に対する完全順列の数をモンモール数と呼びます．一般項は

　　ｆ（ｎ）＝ｎ！Σ（−１）^k／ｋ！＝ｎ！(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n/n!)

また，漸化式

　　ｆ（ｎ）＝（ｎ−１）（ｆ（ｎ−１）＋ｆ（ｎ−２））

が成り立ちます．

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1708年、モンモールは証明なしで、

　　ｆ（ｎ）＝（ｎ−１）（ｆ（ｎ−１）＋ｆ（ｎ−２））

と記し、

　　ｆ（ｎ）＝ｎ！Σ（−１）^k／ｋ！＝ｎ！(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n/n!)

と結論した。

　　ｆ（ｎ）＝ｎ！Σ（−１）^k／ｋ！＝ｎ！(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n/n!)

(n-1)ｆ（ｎ-1）＝(n-1)(n-1)!(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n-1/(n-1)!)

(n-1)ｆ（ｎ-2）＝(n-1)(n-2)!(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n-2/(n-2)!)

(n-1)ｆ（ｎ-1）＝n!(n-1)/n(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n-1/(n-1)!)

＝n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n-1/(n-1)!)-n!/n(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n-1/(n-1)!)

(n-1)ｆ（ｎ-2）＝n!/n(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n-2/(n-2)!)

（ｎ−１）（ｆ（ｎ−１）＋ｆ（ｎ−２））

=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+・・・+(-1)^n-1/(n-1)!)+(-1)^n/n!

=ｆ（ｎ）

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