階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（-n）＝√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

　ｎ＝８のとき，

　　８！＝４０３２０

　　４√π（８／ｅ）^8＝３９９０２

で，誤差は１％である（相対誤差はほぼ１／１２ｎである）．

　　ｎ！〜√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n（１＋１／１２ｎ）

　　ｅ^n＞１＋ｘ

　　（ｋ＋１）／ｋ＜ｅ^n＜ｋ／（ｋ−１）

より

　　ｎ^n／ｅ^n-1＜ｎ！＜ｎ^n+1／ｅ^n-1

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　スターリングは次の等式にも気づいた．

　　ｎ！＝１＋（１−１／１！）・ｎ＋（１−１／１！＋１／２！）・ｎ（ｎ−１）＋（１−１／１！＋１／２！−１／３！）・ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）＋・・・

　すなわち，

　　ｎ！＝Σ（ｎ，ｋ）ｋ！ａk

　　ａk＝Σ（−１）^m／ｍ！

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