アルガンは虚数ｉを累乗しても大きくならないことを発見した

i^1=i→i^2=-1→i^3=-i→i^4=1→i^5=i→i^6=-1→i^7=-i→i^8=1・・・　　

一般にｎを自然数とすると、i^(4n+1)=i→i^(4n+2)=-1→i^(4n+3)=-i→i^(4n+4)=1・・・

はじめの４つの異なる値が繰り返されるだけである。

これは複素平面上で視覚化できる。虚数ｉをかけると90°回転し、４回乗算するごとにスタート地点に戻る。

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自然数をｎ乗して1の位だけを残してみよう(mod10)

1^1=1→2^1=2→3^1=3→4^1=4→5^1=5→6^1=6→7^1=7→8^1=8→9^1=9

1^2=1→2^2=4→3^2=9→4^2=6→5^2=5→6^2=6→7^2=9→8^2=4→9^2=1・・・周期性・対称性がみられる

1^3=1→2^3=8→3^3=7→4^3=4→5^3=5→6^3=6→7^3=3→8^3=2→9^3=9・・・周期性・対称性がみられる

1^4=1→2^4=6→3^4=1→4^4=6→5^4=5→6^4=6→7^4=1→8^4=6→9^4=1・・・周期性・対称性がみられる

もっと続けてみると

1^5=1→2^5=2→3^5=3→4^5=4→5^5=5→6^5=6→7^5=7→8^5=8→9^5=9・・・1乗と同じ

1^6=1→2^6=4→3^6=9→4^6=6→5^6=5→6^6=6→7^6=7→8^6=4→9^6=1・・・2乗と同じ

1^7=1→2^7=8→3^7=7→4^7=4→5^7=5→6^7=6→7^7=3→8^4=2→9^7=9・・・3乗と同じ

1^8=1→2^8=6→3^8=1→4^8=6→5^8=5→6^8=6→7^8=1→8^8=6→9^8=1・・・4乗と同じ

はじめの４つの行が繰り返されるだけである。

k^(4n+1)=k^1 (mod10)

k^(4n+2)=k^2 (mod10)

k^(4n+3)=k^3 (mod10)

k^(4n+4)=k^4 (mod10)

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オイラーの定理：

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

において，θ＝πを代入すると，ｅｘｐ（ｉπ）＝−１という有名な式が得られる．π，ｉ，ｅは数学の基本となる３つの数であるからだ．

　一方，ｉ^2＝−１であるから

　　ｅｘｐ（ｉπ）＝ｉ^2

両辺をθ／π乗すると

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｉ^(2θ/π)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

が成り立つ．

　　θ＝π／２のとき，ｉ＝ｉ

　　θ＝π／４のとき，ｉ^(1/2)＝（１＋ｉ）／√２

　　θ＝π／６のとき，ｉ^(1/3)＝（√３＋ｉ）／２

ｉの実数乗は回転作用を表すことがわかる．

　さらに，両辺をｉ乗すると

　　ｅｘｐ（−θ）＝ｉ^(2iθ/π)＝（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^i＝ｃｏｓｉθ＋ｉｓｉｎｉθ

が成り立つ．

　　θ＝π／２のとき，ｉ^i＝ｅｘｐ（−π／２）＝0.207879576・・・

i^i={exp(i(π/2))}^i=exp(-(π/2)＝0.207879576・・

iは２乗するとー１になる数であるが、iをi乗するとびっくりすることに実数となるのである。

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