数の世界は、自然数から負の数へ、有理数から無理数へ、実数から複素数へと拡大してきました。如何にしてその数が発見されたのか、あるいは、数の概念を拡張するのにどれだけ長くかかったかなどは大変興味深いテーマです。

　複素数は難解とか複雑な数ということではなく、実数と虚数という二つの項をもつ数（ｘ＋ｙｉ）のことで、ｙ＝０ならばこの数は実数ｘになります。複素数はすでに１６世紀に３次方程式の解の公式を発見したカルダノなどによって使用されていました。彼の頃までは代数方程式は実係数のものしか考えなかったばかりではく、負根は本当の根とは考えられていませんでした。√−１を表す記号ｉを使い始めたのはオイラーですが、それから、ベルヌーイとオイラーまで２００年間はほとんどだれも複素数の研究をしませんでした。

　１８世紀末になって、ガウスは数学に本格的に複素数を導入し「実数あるいは複素数を係数にもつ代数方程式ｆ（ｘ）＝ａ0 ｘn ＋ａ1 ｘn-1 ＋・・・＋ａn ＝０は複素数の範囲に解をもつ」、「ｎ次方程式は複素数の範囲にｎ個の解をもつ」という代数学の基本定理（fundamental theorem of algebra: FTA）を証明しました（１７９９年）。

　代数学の基本定理は任意の実数係数をもつ多項式は１次および２次の実数多項式の積である、あるいは任意の複素係数多項式は１次の複素数多項式に分解されうることを述べています。多くの数学者は基本定理を証明なしに信じてきたのですが、ガウスはこの定理を非常に重要と考えたので、生涯に４つの異なる証明を与えています（最後の証明は１８４８年になされた）。

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ガウスは「あらゆる代数方程式の根は実数か複素数のどちらかであり、それ以外の種類の数は必要としない」という代数学の基本定理を発表した。

彼は生涯に４つの証明を発表したが、実は完全には問題を解決しなかった・・・x^2=iのような方程式を考慮していなかったのである。

1806年、アルガンはこのような場合であってもa+biの形にかけることを示した。

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