［Q］関数ｙ＝ｘ^xを微分せよ．

ｌｏｇｙ=ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１

　　ｙ’＝ｙ（ｌｏｇｘ＋１）＝（ｌｏｇｘ＋１）ｘ^x

したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．また，ｔ・ｌｏｇｔはｔ→０のとき０となるから，

　　ｘ^x→１　　（ｘ→０）

ｙ＝ｘ^x=eの解はx=exp(Ω)

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f(1)=1

f(2)=4

f(3)=27

f(4)=256

f(5)=3125

4＜ｅ^e＜27

27＜π^π＜256

［Ｑ］ｅ^eに最も近い整数を求めよ→［Ａ］ｅ^e＝１５．１５４２・・・

［Ｑ］π^πに最も近い整数を求めよ→［Ａ］π^π＝３６．４６２・・・などは簡単ではない

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ｙ＝ｘ^x=eの解を求めてみる。

xlogx=1

x((x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4+・・・)=1

x((x-1)-(x-1)^2/2)=1

x(x-1)(3-x)=2・・・うまくいきそうにない

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x(x-1)=2・・・x=2となるが

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