エジプト人はピタゴラスより何世紀も前から(3,4,5)の辺の三角形を建築の道具として使い、きちんと直角になるようにしていた。

(3,4,5)は最も小さい（もっとも原始的な）ピタゴラス数で、辺の長さが(3,4,5)の直角三角形はエジプト三角形と呼ばれる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ピタゴラスから2世紀後にユークリッドはピタゴラス数のパラメータ解

a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2

を導き出した。(m,n)=(7,4)なら、33^2+56^2=65^2

この公式によって新たなピタゴラス数を無限に見つけ出すことができる。

(m,n)=(2,1)の場合がエジプト三角形、3^2+4^2=5^2である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x^2+y^2=z^2はディオファントス方程式である。

x^3+y^4=z^5はディオファントス方程式である。

x^n+y^n=z^nはディオファントス方程式である。・・・n＞2の場合、整数解を持たないことはワイルズによって証明された(1995年)。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x^3+y^3=z^3はディオファントス方程式である。・・・整数解は持たない。

3次形式:3x^3+4y^3+5z^3=0は自明な整数解しかは持たない。

しかし、どのｐに対してもp進数体Qpで０を表す。つまり、どのｐに対しても、ｐを法として非自明解をもつ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝