今回のコラムでは，ワイルの均等分布定理を使って

　　ｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）

を導出してみます．

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【３】ワイルの均等分布定理

　まず，ｌｏｇ10２が無理数であることを証明する．有理数，したがって

　　ｌｏｇ10２＝ｐ／ｑ

と書けると仮定すると

　　ｑｌｏｇ10２＝ｐ→２^q＝１０^p＝２^p・５^p

同じ数について２通りの素因数分解ができることになり矛盾．

　２^Nの最初の桁がのとき，

　　ｄ×１０^n≦２^N＜（ｄ＋１）×１０^n

　　０≦ｌｏｇ10ｄ≦ｌｏｇ10（２^N／１０^n）＜ｌｏｇ10（ｄ＋１）≦１

　　ｎ＝［ｌｏｇ10２^N］

　　ｌｏｇ10ｄ≦［ｌｏｇ10２^N］＜ｌｏｇ10（ｄ＋１）

　ここで，ワイルの均等分布定理

　「任意の無理数αについて，｛ｎα｝＝ｎα−［ｎα］は均等分布する」

より，

　　Ｐ（ｌｏｇ10ｄ≦［ｌｏｇ10２^N］＜ｌｏｇ10（ｄ＋１））＝ｌｏｇ10（ｄ＋１）−ｌｏｇ10ｄ＝ｌｏｇ10（（ｄ＋１）／ｄ）

が得られる．

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