【４】素数に対するベンフォードの法則

　１００万以下の素数は78498個あります。先頭の数字がどのような確率で出現するかを調べてみると、確かに1は多いものの各数字の頻度の違いが小さくなり、むしろ一様分布に近づいているように見えます。

素数の先頭の数字の分布は実はオリジナルのベンフォードの法則でなく、一般化されたベンフォードの法則で説明できるのです。

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オリジナルのベンフォードの法則は反比例のグラフy=1/xの1から2までの面積、2から3までの面積、・・・というように対応しています。

それに対して、一般化されたベンフォードの法則ではy=1/x^aについて同じことが成り立つと考えます。a=1のときがオリジナルのベンフォードの法則です。

aが小さくなるとだんだん平らになっていくのですが

10^8以下の素数の先頭の数字はa=0.0583

10^9以下の素数の先頭の数字はa=0.0513

10^10以下の素数の先頭の数字はa=0.0458

10^11以下の素数の先頭の数字はa=0.0414

ときれいに一致します。

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