【１】２次元多様体の分類定理

　ゴム膜でできた長方形の４辺（または２辺）を適当に貼り合わせることを考えてみましょう．そして，長方形を時計回りに順に一周するようなラベルをつけることにします．

　すると，１組の対辺だけを向きを保ったまま貼り合わせる操作はａ０ａ^(-1)０と書くことができます．ａ０ａ^(-1)０によって円環ができあがります．ａ０ａ０すなわち１組の対辺を向きを逆にして貼り合わせる操作によって，メビウスの帯ができあがります．円環の境界は２本の円周ですが，メビウスの帯の境界は１本の円周です．

　同様に，ａｂｂ^(-1)ａ^(-1)からは球面，ａｂａ^(-1)ｂ^(-1)からは輪環面（トーラス），ａｂａｂ^(-1)からはクラインの壷，ａｂａｂからは射影平面が得られます．

　クラインの壷と射影平面は３次元ユークリッド空間の中では描けませんが，４次元空間考えると自己交差なしに重ね合わせることができます．また，イメージするのは難しいのですが，射影平面はメビウスの帯と円板とを縁に沿って貼り合わせたものと同相です．

　円環，球面，輪環面は表から裏に行くことはありませんが，メビウスの帯，クラインの壷，射影平面では縁を越えることなしに曲面の裏側にたどりつきます．こういう面を向きづけ不可能な曲面といいます．

　これら６種類はすべて２次元多様体の例です．そして，コンパクトな２次元多様体はどんなものでも，円環，メビウスの帯，球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの６つのものを適当に連結和したものと同相になることが知られています．これが２次元多様体の分類定理ですが，その詳細については後回しにして，次に連結和の平面モデルについて考えてみます．立方体の展開図（１４角形）にラベルａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇをつけ，ラベルを共有する２本の辺を貼り合わせると立方体の表面になる．このようなラベルや矢印の付いた多角形領域のことを構成された図形の平面モデルと呼ぶ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】平面モデル

　球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの平面モデルはいずれも４角形でしたが，たとえば，２つ穴トーラス：２Ｔ＝Ｔ＃Ｔの平面モデルは何角形になるでしょうか？

　三角形分解定理（ラドー，１９２０年代）により，すべてのコンパクトな曲面は平面モデルで表現することができるのですが，２Ｔをａ，ｂ，ｃ，ｄというラベルの付いた曲線に沿って切り開くと８角形の平面モデルが得られます．

　２つ穴トーラス面を真ん中で２つに分けると，トーラス面に穴のあいたものａｂａ^(-1)ｂ^(-1)ｘとｘｃｄｃ^(-1)ｄ^(-1)ができます．これらを切り開くとどちらも５角形となります．これをｘで２つつなぎ合わせると辺ｘは内部に吸収され，８角形になるというわけです．

　同様に

　３Ｔ　→　１２角形

　　４Ｔ　→　１６角形

　　・・・・・・・・・・・・

　　１００Ｔ　→　４００角形

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝