［１］回転円の半径が1のサイクロイド

　　ｘ＝θ－ｓｉｎθ

　　ｙ＝１－ｃｏｓθ

の弧とｘ軸で囲まれる図形の面積は，

　　ｄｘ＝（１－ｃｏｓθ）ｄθ

　　ｄｙ＝ｓｉｎθｄθ

　　ｘｄｙ－ｙｄｘ＝（θ－ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ－（１－ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（－２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

　Ｓ＝－１／２・∫(0,2π)（ｘｄｙ－ｙｄｘ）＝３π

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図の円を除いた部分を求積してみよう。

　　ｘ＝π－ｓｉｎθ

　　ｙ＝１－ｃｏｓθ

したがって、

∫(0,2)(π-θ)dyとなる。

dy/dθ=sinθ

∫(0,2)(π-θ)dy=∫(0,π)(π-θ)sinθdθ

∫(0,π)(π)sinθdθ=[-πcosθ]=2π

∫(0,π)(θ)sinθdθ=[sinθ-πcosθ]=π

∫(0,2)(π-θ)dy=π

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