サイクロイドは自転車の車輪に固定された点の軌跡である。

サイクロイドの弧長は三等分に限らず、任意のｎ等分が可能である。

ここでは弧長ではなく、サイクロイドの面積を三等分することを考える。

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答えを先にいうと・・・

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［１］回転円の半径が1のサイクロイド

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ

　　ｙ＝１−ｃｏｓθ

の弧とｘ軸で囲まれる図形の面積は，

　　ｄｘ＝（１−ｃｏｓθ）ｄθ

　　ｄｙ＝ｓｉｎθｄθ

　　ｘｄｙ−ｙｄｘ＝（θ−ｓｉｎθ）ｓｉｎθｄθ−（１−ｃｏｓθ）^2ｄθ

＝（−２＋２θｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ）ｄθ

　Ｓ＝−１／２・∫(0,2π)（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝３π

　［２］回転円の半径が1のサイクロイド（０≦θ≦２π）の弧長は？

　　ｄｘ／ｄθ＝（１−ｃｏｓθ）

　　ｄｙ／ｄθ＝ｓｉｎθ

　　（ｄｘ／ｄθ）^2＋（ｄｙ／ｄθ）^2＝２−２ｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^2（θ／２）

　　Ｌ＝∫(0,2π)２ｓｉｎ（θ／２）ｄθ＝∫(0,π)４ｓｉｎｔｄｔ＝８

弧長は回転円に外接する正方形の周に等しいのですが，円周率πが現れないのは不思議な気がします．

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