フィボナッチ・フェルマーの方程式を拡張してみることにしましょう．

ａ）２つの２次曲面

　　ｘ^2＋ｍｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2＋ｎｙ^2＝ｗ^2

の交わりであるＰ^3における曲線は，射影平面Ｐ^2における楕円曲線

　　ｍｘ^2ｙ−ｎｙｘ2−（ｘ−ｙ）ｚ^2＝０

　　ｙ（ｚ^2−ｍｘ^2）＝ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2）

と同型になること（整数点は整数点に移る），

ｂ）（ｍ，ｎ）＝（１，−１）には自然数解は存在しないことを証明が，フィボナッチ・フェルマーの定理であること

ｃ）この曲線は射影的に

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ），λ＝ｎ／（ｎ−ｍ）

と同値であること，したがって，ｊ不変量は

　　ｊ＝２^8（ｎ^2−ｍｎ＋ｍ^2）^3／ｍ^2ｎ^2（ｎ−ｍ）^2 で表されることなどの帰結として，（ｍ，ｎ）＝（１，２）には自然数解がない，（２，６），（５，−５）には自然数解があるなど，一般的な可解性条件（楕円曲線の有理点が求まる可能性）が得られています．

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