【３】フィボナッチの問題

　ピタゴラス方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2に無数の自然数解があることがわかりましたが，それでは，連立２次のディオファントス方程式：

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−ｙ^2＝ｗ^2

の自明でない自然数解を考えてみましょう（フィボナッチの問題）．ただし，ｙ＝０なる解は必ずあるわけですから，どのｘ，ｙ，ｚ，ｗも０でないものとします．

　実は，そのような答えをもたないことがフェルマーによって証明されていて，それがフィボナッチ・フェルマーの定理です．フィボナッチは西暦１２００年頃，解は存在しないことを予想していたのですが，４００年後にフェルマー得意の無限降下法によって証明が与えられました．

　この定理を応用すると，

「３辺の長さが自然数であるような直角三角形と同じ面積をもつ，辺の長さが自然数の正方形は存在しない（ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，ｘｙ＝２ｔ^2）」

「ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2の自然数解はない」

「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4の自然数解はない（ｎ＝４の場合のフェルマー予想）」

などが証明できます．

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