エジプト人はピタゴラスより何世紀も前から(3,4,5)の辺の三角形を建築の道具として使い、きちんと直角になるようにしていた。

(3,4,5)は最も小さい（もっとも原始的な）ピタゴラス数で、辺の長さが(3,4,5)の直角三角形はエジプト三角形と呼ばれる。

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ピタゴラスから2世紀後にユークリッドはピタゴラス数のパラメータ解

a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2

を導き出した。(m,n)=(7,4)なら、33^2+56^2=65^2

この公式によって新たなピタゴラス数を無限に見つけ出すことができる。

(m,n)=(2,1)の場合がエジプト三角形、3^2+4^2=5^2である。

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x^2+y^2=z^2はディオファントス方程式である。

x^3+y^4=z^5はディオファントス方程式である。

x^n+y^n=z^nはディオファントス方程式である。・・・n＞2の場合、整数解を持たないことはワイルズによって証明された(1995年)。

マチアセヴィッチはディオファントス方程式を解く一般的なアルゴリズムは存在しないことを証明した(1970年)

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