数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンは１７２９は２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

たしかに

　　Ta(2)=１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

数学者が１７２９という数を見たら、１２^3＝１７２８を思い浮かべないはずはない

さらに、１０００＝１０^3、７２９＝９^3であることにも当然気づくであろう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】超タクシー数

Ta(2)=１７２９は２通りの３乗数の和として表される最小の数である。

ｎ通りの３乗数の和として表される数の中で、最小の数は何だろうか？

２は１通りの３乗数の和として表される最小の数である。

２＝１^3＋１^3

６通りまでの３乗数の和として表される最小の数はわかっている。

［１］３通り

Ta(3)=８７５３９３１９＝１６７^3＋４３６^3＝２２８^3＋４２３^3＝２５５^3＋４１４^3

［２］４通り

Ta(4)=６９６３４７２３０９２４８

＝２４２１^3＋１９０８３^3＝５４３６^3＋１８９４８^3＝１０２００^3＋１８０７２^3

＝１３３２２^3＋１６６３０^3

［３］５通り

Ta(5)=４８９８８６５９２７６９６２４９６

＝３８７８７^3＋３６５７５７^3＝１０７８３９^3＋３６２７５３^3＝２０５２９２^3＋３４２９５２^3

＝２２１４２４^3＋３３６５８８^3＝２３１５１８^3＋３３１９５４^3

［４］６通り

Ta(6)２４１５３３１９５８１２５４３１２０６５３４４

＝５８２１６２^3＋２０９０６２０６^3＝３０６４１７３^3＋２８８９４８０３^3＝８５１９２８１^3＋２８６５７４８７^3

＝１６２１８０６８^3＋２７０９３２０８^3＝１７４９２４９６^3＋２６５９０４５２^3＝１８２８９９２２^3＋２６２２４３６６^3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

超タクシー数は無限に存在するが、最初の６つしかわかっていない。

Ta(n)がすべてのnについて存在することは１９３８年、ハーディ、ライトにより証明された。

一方、４個の平方数によって２通りの和で表される最小の数は、635318657である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝