【２】高次元の正多胞体とリー群

　　（６，６，６）　→　正三角形

　　（４，８，８）　→　直角二等辺三角形

　　（４，６，１２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

　　（３，１２，１２）→　３０°，３０°，１２０°の三角形

が２次元の基本単体になるのですが，基本単体を鏡映も許しながら自分自身に重ねていく操作がルート系であり，それは，アメリカのキリングやフランスのカルタンによって成し遂げられた単純リー群の分類と関係しています．

　そして，高次元の正多面体の場合の結論を先にいうと，ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列（Ａn，Ｂn，Ｃn，Ｄn）と６つの例外的な場合（Ｇ3，Ｆ4，Ｇ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8）に限られます．

　このうち，ｎ次元の正単体群はＡn，超立方体群はＢnまたはＣn，３次元の正二十面体群はＧ3，４次元の正２４胞体群はＦ4，４次元の正６００胞体群はＧ4と関連しています．

　以下，代表的なディンキン図形を掲げますが

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　　　　　　３

　　　　　／

　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

　　　　　＼

　　　　　　４

　　　　　　４

　　　　　　 ｜

　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

　　１≡２−３　（Ｇ3）　　１≡２−３−４　（Ｇ4）

　ここで，Ｇ3，Ｇ4はＧ2に１個または２個の節点をつないだグラフであり，単純リー群では許されない形です（拡張されたディンキン図形）．

　正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．たとえば，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているというわけです．

　また，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

　正６００胞体（３，３，５）では捩れ（３，４，３）が関係してＧ4をもちます．また，正１２０胞体の６００個の頂点をうまくとると，他の４次元正多胞体（正５，８，１６，２４，６００胞体）がすべて作れるので，その意味で正１２０胞体は４次元の万能正多面体です．（３次元の正十二面体はその頂点から正四面体，正六面体を作ることができますが，正八面体や正二十面体を作ることはできません．）

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