以下，ルート系について説明しますが，面心立方格子や対心立方格子などの結晶格子には，空間中の格子点の位置を表すのに単純並進ベクトルと呼ばれる３つのベクトルがあり，その長さと角度によって，それぞれの格子の構造を特徴づける係数が得られます．もちろん，３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑の選び方は一義的には決まらず，いろいろな選び方があるのですが，４種類の鏡映三角形からなるモザイク模様に対しても同様に，R^2のベクトルの集合を考えることができます．

（６，６，６）　→　Φ1＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑｝

（４，８，８）　→　Φ2＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑｝

（４，６，１２）→　Φ3＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋２ｂ↑｝

（３，１２，１２）→Φ4＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋２ｂ↑｝

　２つのベクトルａ↑，ｂ↑はルート系の基底，また，このようにして得られたベクトルの集合Φ1，・・・，Φ1を階数２のルート系と呼ぶのですが，平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．

　R^8の標準基底をｅ1，・・・，ｅ8とすると，Ｅ8型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，・・・，ｅ7−ｅ8，ｅ0−ｅ1−ｅ2−ｅ3｝

のように求まります．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうですが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．

　ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのですが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけです．

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