【３】ｋフィボナッチ数列の一般項

　ｋパスカルの三角形の自己相似性については省略し，ｋフィボナッチ数列の一般項を求めるあらすじを紹介したい．特性方程式

　　　ｘ^2−ｘ−１＝０，ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０，・・・は重解をもたないので，これらの行列は対角化可能である．ｋ＝３の場合で示すが，

　　Ａ3 ＝［０，１，０］

　　　　　［０，０，１］

　　　　　［１，１，１］

　　Ｐ^-1Ａ3Ｐ＝［λ1 ，０，０］，Ｐ^-1Ａ3^nＰ＝［λ1^n，０，０］

　　　　　　　　［０，λ2 ，０］　　　　　　　　［０，λ2^n，０］

　　　　　　　　［０，０，λ3 ］　　　　　　　　［０，０，λ3^n］

　区間［３／２，２］に実数解をもつ以外にｋが奇数のときは１，ｋが偶数のときには１と区間［−１，０］にも実数解が存在する．たとえば，特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２つの解は

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

ただし，異なるｋ個の固有値はすべて実数というわけではなく，複素数解をもつので注意が必要である．

　一方，

　　Ａ3^n ＝［Ｆn-2，Ｆn-2＋Ｆn-3，Ｆn-1］

　［Ｆn-1，Ｆn-1＋Ｆn-2，Ｆn ］

　［Ｆn ，Ｆn ＋Ｆn-1，Ｆn+1］

が成り立つので，トリボナッチ数列の一般項は

　　Ｆn＝α1λ1^n＋α2λ2^n＋α3λ3^n

　Ｆ0＝０，Ｆ1＝１，Ｆ2＝１ならば

　　α1＋α2＋α3＝０

　　α1λ1＋α2λ2＋α3λ3＝１

　　α1λ1^2＋α2λ2^2＋α3λ3^2＝１

すなわち，ヴァンデルモンデの行列の入った連立方程式

　　［１ 　，１ 　，１ 　］［α1］　［０］

　　［λ1　，λ2　，λ3　］［α2］＝［１］

　　［λ1^2，λ2^2，λ3^2］［α3］　［１］

が得られる．結局，ｋフィボナッチ数列の一般項は行列の対角化と連立方程式の問題に帰着されたことになる．

　　α1＝λ1／（λ1−λ2）（λ1−λ3）

　　α2＝λ2／（λ2−λ1）（λ2−λ3）

　　α3＝λ3／（λ3−λ1）（λ3−λ2）

より，トリボナッチ数列の一般項は

　　Ｆn＝λ1^n+1／（λ1−λ2）（λ1−λ3）＋λ2^n+1／（λ2−λ1）（λ2−λ3）＋λ3^n+1／（λ3−λ1）（λ3−λ2）

のような部分分数分解の形になる．

　ところで，フィボナッチ数列｛Ｆn｝の通常型母関数ｆ（ｘ）は

　　　　ｆ（ｘ）＝Ｆ0＋Ｆ1ｘ＋Ｆ2ｘ^2＋Ｆ3ｘ^3＋・・・

　　　ｘｆ（ｘ）＝　　　Ｆ0ｘ＋Ｆ1ｘ^2＋Ｆ2ｘ^3＋・・・

　　ｘ^2ｆ（ｘ）＝　　　　　　　Ｆ0ｘ^2＋Ｆ1ｘ^3＋・・・

また，Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2より

　　ｆ（ｘ）＝ｘ／（１−ｘ−ｘ^2）＝ΣＦnｘ^n

と簡単な式になる．ｋフィボナッチ数列の母関数も同様にして

　　ｆ（ｘ）＝ｘ／（１−ｘ−ｘ^2−・・・−ｘ^k）＝ΣＦnｘ^n

　＝Σ（α1λ1^n＋α2λ2^n＋α3λ3^n＋・・・）ｘ^n

　具体的には求めないが，

　　Σλi^nｘ^n＝λiｘ／（１−λiｘ）

より，部分分数分解

　　Σαiλiｘ／（１−λiｘ）＝ｘ／（１−ｘ−ｘ^2−・・・−ｘ^k）

して両辺を比較することでも，αiが決定されることになる．

　こうして，ｋフィボナッチ数列の一般項は

　＝Σλi^n+k-2／（λi−λ1）・・・（λi−λi-1）（λi−λi+1）・・・（λi−λk）

であることがわかる．

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