f(x)=(1+53x+9x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)のパデ近似

r(x)=Σanx^n

を求めてみたい。

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(1+53x+9x^2)〜(1-82x-82x^2+x^3)(1+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+・・・)

=1+(a1-82)dx+(a2-82a1-82)x^2+(a3-82a2-82a1+1)x^3+(a4-82a3-82a2+a1)x^4+・・・

a0=1

a1-82=53→a1=135

a2-82a1-82=9→a2=11161

a3-82a2-82a1+1=0→a3=926271

a4-82a3-82a2+a1=0→a4=76869289

a5-82a4-82a3+a2=0→a5=トリボナッチ数列となる。

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f(x)=(2+8x-10x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)のパデ近似

r(x)=Σbnx^n

を求めてみたい。

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(2+8x-10x^2)〜(1-82x-82x^2+x^3)(2+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+・・・)

=2+(a1-164)x+(a2-82a1-164)x^2+(a3-82a2-82a1+2)x^3+(a4-82a3-82a2+a1)x^4+・・・

b0=2

a1-164=8→b1=172

a2-82a1-164=-10→b2=14258

a3-82a2-82a1+2=0→b3=1183258

a4-82a3-82a2+a1=0→b4=98196140

a5-82a4-82a3+a2=0→b5=トリボナッチ数列となる。

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f(x)=(2+8x-10x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)のパデ近似

r(x)=Σcnx^n

を求めてみたい。

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(2+8x-10x^2)〜(1-82x-82x^2+x^3)(2+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+・・・)

=2+(a1-164)x+(a2-82a1-164)x^2+(a3-82a2-82a1+2)x^3+(a4-82a3-82a2+a1)x^4+・・・

a0=2

a1-164=8→c1=172

a2-82a1-164=-10→c2=14258

a3-82a2-82a1+2=0→c3=1183258

a4-82a3-82a2+a1=0→c4=98196140

a5-82a4-82a3+a2=0→c5=トリボナッチ数列となる。

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ラマヌジャンはこの３つの数列を結びつける美しい公式を発見した。

an^+bn^3=cn^3+(-1)^n

1^3+2^3=2^3+1

135^3+138^3=72^3-1

11161^3+11468^3=14258^3+1

926271^3+951690^3=1183258^3-1

76856289^3+78978818^3=98196140^3+1

6379224759^3+6554290188^3=8149096378^3-1

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