［Ｑ］立方体の角に4個の黒真珠と４個の白真珠を配置する場合の数を求めよ

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物体の群Gは4つの物体のすべての置換からなるS4のコピーを組み合わせることで得られる。

G=1/24^2{s1^4+8s1s3+6s1^2s2+3s2^2+6s4}^2

位置の群Hは立方体のすべての回転対称からなる群である。

H=1/24{s1^8+8s1^2s3^2+9s2^4+6s4^2}

G・H=1/24^3{s1^8・s1^8+8^2s^2s3^2・8^2s^2s3^2+3^2s2^4・9s2^4+6^2s4^2・6s4^2｝

この合成の係数の和は

1/24^3{1^8・8!+512・1^2・2!・3^2・2!+81・2^4・4!+216・4^2・2!｝＝7

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別解

H=1/24{s1^8+8s1^2s3^2+9s2^4+6s4^2}

sn=b^n+w^nを代入すると

1/24{（b+w)^8+8(b+w)^2(b^3+w^3)^2+9(b^2+w^2)^4+6(b^4+w^4)^2}

=b^8+b^7w+3b^6w^2++b^5w^3+7b^4w^4+3b^3w^5+3b^2w^6+bw^7+w^8}

b^4w^4の係数は7

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