■高次元図形の研究法(その38)

 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (−1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(−1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つ.

  −1≦k≦n−1

であるが,k=n−1の場合は自明.k=−1の場合はf-1=fn=1とみなせば,オイラーの関係式になる.

 k=n−1の場合,k≦j≦n−1であるから

  (−1)^(n-1)fn-1=(−1)^n-1fn-1

 k=−1の場合,k≦j≦n−1であるから

  (−1)^(n-1)f-1=−f-1+f0−f1+・・・+(−1)^(n-1)fn-1

k=n−2の場合,k≦j≦n−1であるから

  (−1)^(n-1)fn-2=(−1)^n-2fn-2+(−1)^n-1nfn-1

  fn-2=−fn-2+nfn-1

k=n−3の場合,k≦j≦n−1であるから

  (−1)^(n-1)fn-3=(−1)^n-3fn-3+(−1)^n-2(j+1,k+1)(n−1)fn-2+(−1)^n-1n(n−1)/2fn-1

  fn-3=fn-3−(n−1)fn-2+n(n−1)/2fn-1

k=n−4の場合,k≦j≦n−1であるから

  (−1)^(n-1)fn-4=(−1)^n-4fn-4+(−1)^n-3(n−2)fn-3+(−1)^n-2(n−1)(n−2)/2fn-2+(−1)^n-1n(n−1)n−2)/6fn-2

  fn-4=−fn-4+(n−2)fn-3−(n−1)(n−2)/2fn-2+n(n−1)(n−2)/6fn-2

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 このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

  Σ(0,k)(−1)^k-j(n−j,n−k)fj-1=Σ(0,n-k)(−1)^n-k-j(n−j,k)fj-1

  fk-1=Σ(k,n)(−1)^n-j(j,k)fj-1

  fk-1=Σ(k,n)(−1)^n-j(j,k)fj-1,k≦j≦n

において,k=nとすると

  fn-1=fn-1

k=0とすると

  f-1=(−1)^n(f-1−f0+f1−・・・+fn-1)

k=n−1とすると

  fn-2=−fn-2+nfn-1  (一致)

k=n−2とすると

  fn-3=fn-3−(n−1)fn-2+n(n−1)/2fn-1  (一致)

k=n−3とすると

  fn-4=−fn-4+(n−2)fn-3−(n−1)(n−2)/2fn-2+n(n−1)(n−2)/6fn-1  (一致)

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