ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つ．

　　−１≦ｋ≦ｎ−１

であるが，ｋ＝ｎ−１の場合は自明．ｋ＝−１の場合はｆ-1＝ｆn＝１とみなせば，オイラーの関係式になる．

　ｋ＝ｎ−１の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ−１であるから

　　（−１）^(n-1)ｆn-1＝（−１）^n-1ｆn-1

　ｋ＝−１の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ−１であるから

　　（−１）^(n-1)ｆ-1＝−ｆ-1＋ｆ0−ｆ1＋・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1

ｋ＝ｎ−２の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ−１であるから

　　（−１）^(n-1)ｆn-2＝（−１）^n-2ｆn-2＋（−１）^n-1ｎｆn-1

　　ｆn-2＝−ｆn-2＋ｎｆn-1

ｋ＝ｎ−３の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ−１であるから

　　（−１）^(n-1)ｆn-3＝（−１）^n-3ｆn-3＋（−１）^n-2（ｊ＋１，ｋ＋１）（ｎ−１）ｆn-2＋（−１）^n-1ｎ（ｎ−１）／２ｆn-1

　　ｆn-3＝ｆn-3−（ｎ−１）ｆn-2＋ｎ（ｎ−１）／２ｆn-1

ｋ＝ｎ−４の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ−１であるから

　　（−１）^(n-1)ｆn-4＝（−１）^n-4ｆn-4＋（−１）^n-3（ｎ−２）ｆn-3＋（−１）^n-2（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆn-2＋（−１）^n-1ｎ（ｎ−１）ｎ−２）／６ｆn-2

　　ｆn-4＝−ｆn-4＋（ｎ−２）ｆn-3−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆn-2＋ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆn-2

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　このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

　　Σ(0,k)（−１）^k-j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj-1＝Σ(0,n-k)（−１）^n-k-j（ｎ−ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1，ｋ≦ｊ≦ｎ

において，ｋ＝ｎとすると

　　ｆn-1＝ｆn-1

ｋ＝０とすると

　　ｆ-1＝（−１）^n（ｆ-1−ｆ0＋ｆ1−・・・＋ｆn-1）

ｋ＝ｎ−１とすると

　　ｆn-2＝−ｆn-2＋ｎｆn-1　　（一致）

ｋ＝ｎ−２とすると

　　ｆn-3＝ｆn-3−（ｎ−１）ｆn-2＋ｎ（ｎ−１）／２ｆn-1　　（一致）

ｋ＝ｎ−３とすると

　　ｆn-4＝−ｆn-4＋（ｎ−２）ｆn-3−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆn-2＋ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆn-1　　（一致）

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